Монолитные изделия могут быть сделаны без применения подъемных кранов. Но, несмотря на массу преимуществ монолитных плит, немало людей попросту отказывается от их устройства. Причиной тому является невозможность проведения надлежащего расчета плиты на стадии планировочных работ. Именно этот фактор послужил толчком к созданию данной статьи. В ней описан весь процесс расчета монолитного ж/б перекрытия.

1. Этап 1. Определение расчетной длины плиты
2. Этап 2. Определение размеров плиты, класса арматуры и бетона
3. Этап 3: Определение опор
4. Этап 4: Определение предполагаемой нагрузки на плиту
5. Этап 5: Определение максимального изгибающего момента балки
6. Этап 6: Расчетные допущения
7. Пример расчета монолитной железобетонной плиты перекрытия

Этап 1. Определение расчетной длины плиты

Длина плиты и проектная длина плиты это очень разносторонние вещи. Фактическая длина плиты может быть любой. А вот расчетная длина (другими словами пролет балки, а в нашем случае плиты перекрытия) имеет совсем иные значения. Пролетом зовется расстояние в свету (минимальное расстояние между наиболее выпуклыми частями соседних элементов) между несущими стенами. А если быть точнее, то это рассчитываемая от стен длина и ширина помещения. И само собой, за счет опирания на стены, по факту плита будет длиннее.

Следует отметить, что монолитная железобетонная плита может опираться на несущие стены, возведенные из следующих материалов: кирпич, камень, газо- и пенобетон, керамзитобетон, шлакоблок. Если в качестве опор под плиту используется кладка из недостаточно прочных материалов (газобетон, пенобетон, керамзитобетон, шлакоблок), то этот материал должен пройти расчеты на соответствующие нагрузки.

В статье приведен пример однопролетной плиты перекрытия, которая опирается на две несущих стены. Расчет плиты при условии ее опирания на четыре несущих стены — рассмотрен не будет.

Примем значение расчетной длины плиты l=4 м.

Этап 2. Определение размеров плиты, класса арматуры и бетона

Без наличия этих параметров (а они нам неизвестны по определению) нами не будет выполнен расчет. Исходя из этого, неизвестные значения нами будут заданы самостоятельно.

Зададим параметры плиты: высота h=10 см; ширина b=100 см. Данная условность поможет определить значение 1 расчетного метра. Опираясь на это, при изготовлении плиты (к примеру) длиной 4 и шириной 6 метров, для каждого из 6 метров предстоит принять параметры, определенные для одного расчетного метра.

Итак, нами были приняты значения высоты h=10см, ширины b=100 см, а также класс бетона B20 и арматуры А400.

 

 

 

Этап 3: Определение опор

 

В зависимости от типа и тяжести стен, а также от ширины опирания на них плиты перекрытия, несущий элемент может быть рассмотрен как шарнирно опертая бесконсольная балка или же, как балка с жестким защемлением на опорах. В данной статье будет рассмотрен наиболее распространенный случай — шарнирно опертая безконсольная балка.

Этап 4: Определение предполагаемой нагрузки на плиту

Балка может испытывать самые разнообразные нагрузки. Строительная механика «гласит», что все неподвижное, прибитое, приклеенное или другим способом устроенное на плите перекрытия становится статистической и в тоже время постоянной нагрузкой. А все что движется (что передвигается разными способами) по балке становится динамической (как правило временной) нагрузкой. Все это к тому, что в данном примере нами будут убраны различия между этими видами нагрузок.

Сосредоточенная нагрузка измеряется в килограмм-силах (кгс или кг) либо в Ньютонах. Распределительная нагрузка измеряется в килограмм-сила-метр (кгс/м).

Расчет плиты перекрытия в жилых домах, как правило, нацелен на определение распределительной нагрузки q1=400 кг/м². Вес плиты высотой 100 мм добавит к этому типу нагрузи около 250 кг/м². А стяжка и чистовое покрытие (возьмем керамическую плитку) приплюсуют сюда еще дополнительных 100 кг/м².

В приведенной выше распределительной нагрузке учитывается большая часть из тех нагрузок, которые имеют отношение к перекрытиям в жилых домах. Однако это ни в коей мере не означает, что расчет конструкции с учетом более значимых нагрузок не может иметь место. Отнюдь, просто в нашем случае взятые значения являются усредненными. В тоже время мы в любом случае подстрахуемся и умножим итоговое значение нагрузки на так называемый коэффициент надежности γ=1.2.

q=(400+250+100)1.2=900 кг/м²

Поскольку наши расчеты опираются на плиту шириной 1 м, то нагрузка являющаяся распределительной, может быть рассмотрена как плоская (работающая на плиту перекрытия по оси «y» и измеряемая в кг/м).

Этап 5: Определение максимального изгибающего момента балки

Максимальный изгибающий момент плиты опирающейся на две стены находится по ее центру:

 

 

 

Для пролета l=4 м Мmax=(900х4²)/8=1800 кг·м

 

 

Этап 6: Расчетные допущения

 

Согласно СНиП 52-01-2003 и СП 52-101-2003 в основе расчета ж/б элементов лежит следующая информация:

• Сопротивление бетона растяжению принимается нулевым значением. Причиной такого допущения является разница в сопротивлении растяжения между бетоном и арматурой. Значение сопротивления арматуры к таким нагрузкам превосходит бетон приблизительно в 100 раз. В итоге получается, что на растяжении работает только арматура.
• Сопротивление бетона сжатию принимается значением определенным равномерным распределением по существующей зоне сжатия. В итоге данное сопротивление бетона не должно приниматься более чем расчетное сопротивление R_b.
• Значение максимального растяжения в арматуре не должно превышать значение расчетного сопротивления R_s..

Чтобы устранить возможность образования эффекта пластического шарнира (где значение изгибающего момента отдалена от нуля, вследствие чего происходит обрушение конструкции) соотношение ξ сжатой зоны бетона «y» расстоянию от центра тяжести арматуры до верха балки h₀, ξ=у/h_o (6.1) не должно превышать предельное значение ξ_R.

Для определения предельного значения используется следующая формула:

 

 

 

Формула (6.2) является эмпирической (опирающейся на непосредственное наблюдение) и выведена при проектировании железобетонных конструкций. Значение R_s — это сопротивление арматуры измеряемое в мПа (миллипаскалях). В тоже время, данный этап работ допускает использование таблицы 1.

 

Значение a_R обозначает расстояние от центральной точки поперечного сечения арматуры до нижнего уровня балки. С увеличением этого расстояния (его минимальное значение не должно быть не меньше диаметра самой арматуры и не меньше 10 мм) усиливается сцепление арматуры с бетоном. Однако вместе с этим уменьшается полезное значение h₀.

Таблица 1. Граничные значения относительной высоты сжатой зоны бетона:

Класс арматуры	A240	A300	A400	A500	B500
Значение ξR	0,612	0,577	0,531	0,493	0,502
Значение aR	0,425	0,411	0,390	0,372	0,376

Если расчеты проводятся недостаточно квалифицированными проектировщиками (грубо говоря — не профессионалами) с целью предостережения, рекомендуется занижать значение сжатой зоны ξ_R в 1.5 раза.

В нашем случае, а=200 мм.

Если ξ ≤ ξ_R или же в сжатой зоне отсутствует арматура, для проверки прочности бетона используется следующая формула:

 

 

 

Смысл данной формулы следующий: поскольку любой момент может быть представлен в виде силы работающей с плечом, то в отношении бетона должно быть применено вышеприведенное условие.

 

При том же ξ ≤ ξ_R для проверки прочности прямоугольных сечений с одиночной арматурой используется следующая формула:

 

 

 

Смысл данной формулы следующий: согласно расчету, арматура должна выдерживать нагрузку равную той, что выдерживает бетон. Поскольку как первый, так и последний испытывает действие одинаковой силы с аналогичным плечом.

 

Данная расчетная схема не является единственной, расчет может быть произведен относительно центра тяжести приведенного сечения. Но стоит заметить, что железобетон является композитным (искусственно созданным сплошным материалом с неоднородным составом) материалом, за счет чего его расчет по предельным напряжениям (при сжимании или растяжении) возникающим в поперечном сечении ж/б балки достаточно непростая задача. В тоже время железобетон в этом не одинок. Разброс прочностных характеристик встречается у таких конструкционных материалов как сталь, алюминий и т.п. Сюда же можно отнести древесину, кирпич, а также полимерные композитные материалы.

Для определения высоты сжатой зоны бетона при отсутствии в ней арматуры используется следующая формула:

 

 

 

Для возможности определения сечения арматуры нужно определить коэффициент a_m:

 

 

Если а_m < a_R тогда необходимость наличия арматуры в сжатой зоне полностью отпадает. В свою очередь для определения а_R используется таблица 1.

 

В случае отсутствия арматуры в сжатой зоне, для определения сечения арматуры используется следующая формула:

 

 

 

Пример расчета монолитной железобетонной плиты перекрытия

 

Обратите внимание, расчет будет проводиться на примере железобетонной бесконсольной плиты, которая находится на опорах шарнирного типа и подвергается равномерно распределительной нагрузке.

Этап 7: Подбор сечения арматуры

Согласно СНиП 2.03.01-84 «Бетонные и железобетонные конструкции» расчетное сопротивление растягивающим усилиям в отношении арматуры класса А400 составляет R_s=3600 кгс/см² (355 МПа). Согласно тому же СНиПу, расчетное сопротивление сжимающим нагрузкам для бетона класса B20 имеет значение R_b=117кгс/см² (11.5 МПа). Другие необходимые для расчета параметры и нагрузки в отношении плиты, нами были определены ранее.

Используя формулу (6.6) определим значение коэффициента а_m: а_m=1800/(1·0.08²·1170000)=0.24038

Примечание: с целью соблюдения размерности, значение расчетного сопротивление было приведено в кг/м².

Согласно таблице 1 полученное в результате расчетов значение является ниже предельного (0.24038 < 0.39), из этого исходит, что такие обстоятельства не требуют наличия арматуры в сжатой зоне. Получается, что по формуле (6.8) необходимая площадь сечения арматуры: A_s=117·100·8(1-√‾(1-2·0.24038))/3600=7.265 см².

Примечание: с целью упрощения вычисления, значения поперечного сечения были представлены в сантиметрах, а величины расчетных сопротивлений в кг/см².

Получается, что для армирования одного погонного метра понадобится 5 стержней Ø14 мм и с ячейкой 200 мм. Совместно с этим площадь сечения арматуры будет равняться 7.69 см². Тут же стоит отметить, что для повышения продуктивности подбора арматуры можно использовать таблицу 2:

Диаметр, мм	Площадь поперечного сечения, см², при числе стержней
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Масса 1 пог. м, кг
Проволочная и стержневая арматура
3	0.071	0,14	0,21	0,28	0,35	0,42	0,49	0,57	0,64	0,052
4	0,126	0,25	0,38	0,5	0,63	0,76	0,88	1,01	1,13	0,092
5	0,196	0,39	0,59	0,79	0,98	1,18	1,37	1,57	1,77	0,144
6	0,283	0,57	0,85	1,13	1,42	1,7	1,98	2,26	2,55	0,222
7	0,385	0,77	1,15	1,54	1,92	2,31	2,69	3,08	3,46	0,302
8	0,503	1,01	1,51	2,01	2,51	3,02	3,52	4,02	4,53	0,395
9	0,636	1,27	1,91	2,54	3,18	3,82	4,45	5,09	5,72	0,499
10	0,785	1,57	2,36	3,14	3,93	4,74	5,5	9,28	7,07	0,617
12	1,313	2,26	3,39	4,52	5,65	6,79	7,92	9,05	10,18	0,888
14	1,539	3,08	4,62	6,16	7,69	9,23	10,77	12,31	13,85	1,208
16	2,011	4,02	6,03	8,04	10,05	12,06	14,07	16,08	18,1	1,578
18	2,545	5,09	7,63	10,18	12,72	15,27	17,81	20,36	22,90	1,998
20	3,142	6,28	9,41	12,56	15,71	18,85	21,99	25,14	28,28	2,466
22	3,801	7,6	11,4	15,2	19,0	22,81	26,61	30,41	34,21	2,984
25	4,909	9,82	14,73	19,63	24,54	29,45	34,36	39,27	44,13	3,853
28	6,158	12,32	18,47	24,63	30,79	36,95	43,1	49,26	55,42	4,834
32	8,042	16,08	24,13	32,17	40,21	48,25	56,3	64,34	72,38	6,313
36	10,18	20,36	30,54	40,72	50,9	61,08	71,26	81,44	91,62	7,99
40	12,56	25,12	37,68	50,24	62,8	75,36	87,92	100,48	113,04	9,87
45	15,904	31,81	47,71	63,62	79,52	95,42	111,33	127,23	143,13	12,49
50	19,635	39,27	58,91	78,54	98,18	117,81	137,45	157,08	176,72	15,41
55	23,76	47,52	71,28	95,04	118,8	142,56	166,32	190,08	213,84	18,65
60	28,27	56,54	84,81	113,08	141,35	169,62	197,89	226,16	254,43	22,19
70	38,48	76,96	115,44	153,92	192,4	230,88	269,36	307,84	346,32	30,32
80	50,27	100,55	150,81	201,08	251,35	301,62	351,9	402,15	452,43	39,46
Семипроволочные канаты класса К-7
4,5	0,127	0,25	0,38	0,51	0,64	0,76	0,89	1,01	1,14	0,102
6	0,226	0,45	0,68	0,9	1,13	1,36	1,58	1,81	2,03	0,181
7,5	0,354	0,71	1,06	1,41	1,77	2,12	2,48	2,83	3,18	0,283
9	0,509	1,02	1,53	2,04	2,54	3,05	3,56	4,07	4,58	0,407
12	0,908	1,82	2,72	3,63	4,54	5,45	6,35	7,26	8,17	0,724
15	1,415	2,83	4,24	5,66	7,07	8,49	9,9	11,32	12,73	1,132

В армировании также могут быть использованы 7 стержней Ø12 мм с ячейкой 140 мм или же 10 стержней большего диаметра Ø10 мм с ячейкой 100 мм.

Используя формулу (6.5) даем оценку прочности бетона: у=3600·7.69 / (117·100) = 2.366 см

ξ=2.366/8=0.29575 — полученное значение ниже граничного 0.531 и согласно формуле (6.1), а также таблице 1, ниже рекомендуемого 0.531/1.5=0.354 что удовлетворяет необходимые требования.

• 117·100·2.366(8 — 0.5·2.366)=188709 кгс·м > М=180000 кгс·м, по формуле (6.3);
• 3600·7.69(8 — 0.5·2.366)=188721 кгс·м > М=180000 кгс·м, по формуле (6.4).

Выходит, что все соответствует нужным требованиям.

При увеличении класса бетона до В25, снижается количество требуемой арматуры, поскольку для В25 R_b=148 кгс/см² (14.5 МПа).

• a_m=1800/(1·0.08²·1480000)=0.19003;
• A_s=148·100·10(1-√‾(1-2·0.19))/3600=6.99 см².

Из этого исходит, что для армирования 1 погонного метра плиты перекрытия понадобится всего 5 стержней диаметром 14 мм с шагом 200 мм (допускается продолджение подбора сечения). Также стоит заметить, что с целью удовлетворения требованиям по максимально допустимому прогибу, высота плиты завышается до 130-140 мм, при этом сечение арматуры составляет 4-5 стержней Ø16 мм.